\title{金融随机分析}

\subtitle{二叉树无套利定价模型}
% \date{\zhtoday}
\date{}
% \date{2020年秋季}
\author{\textit{甘湘华}}
\institute{}
\titlegraphic{\hfill\includegraphics[height=0.8cm]{../figure/swufe-logo-wide.jpg}}

\begin{document}
\maketitle
\begin{frame}{目录}
    \setbeamertemplate{section in toc}[default] % [sections numbered]
    \tableofcontents[hideallsubsections]
    %\begin{columns} % ganx@swufe: Use this when there are many sections.
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    %        \tableofcontents[hideallsubsections,sections=5-8]
    %    \end{column}
    %\end{columns}
\end{frame}

\section{数学进入金融学的简史}

\begin{iframe}[c]{投资组合选择}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 1952 哈里 $\cdot$ 马科维茨 (Harry Markowitz, 1927 --)
      《投资组合选择》
    \item
      发展了一个在不确定条件下严格陈述的可操作的选择资产组合理论：
      均值方差方法 Mean-Variance methodology.
    \item 这个理论演变成进一步研究金融经济学的基础，
      这一理论通常被认为是现代金融学的发端。
    \item
      这一理论的问世，
      使金融学开始摆脱了纯粹的描述性研究和单凭经验操作的状态，
      标志着数量化方法进入金融领域。
      马科维茨的工作所开始的数量化分析和无套利均衡思想相结合，
      酝酿了一系列金融学理论的重大突破。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{Markowitz 的基本思想}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item
      风险在某种意义下是可以度量的。
    \item
      各种风险有可能互相抑制，或者说可能“对冲”。
    \item
      因此，投资不要“把鸡蛋放在一个篮子里”，而要“分散化”。
      在某种“最优投资”的意义下，收益大意味着要承担的风险也更大。
    \item
      根据马科维兹资产组合的概念，欲使投资组合风险最小，
      除了多样化投资于不同的股票之外，还应挑选相关系数较低的股票。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{金融随机分析}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 1969 罗伯特 $\cdot$ 默顿 (Robert Merton) 把随机分析引入到
      金融研究，
      开创了在金融市场中的定价问题。
    \item
      1973 费雪  布莱克 (Fischer Black) 与迈伦  斯科尔 (Myron Scholes)
      在默顿的协助下，得到了著名的期权定价公式。
    \item
      马科维茨的工作所开始的数量化分析和期权定价中无套利均衡思想相结合，
      酝酿了一系列金融学理论的重大突破。
  \end{itemize}
\end{iframe}

\section{单时段二叉树模型}

\begin{iframe}[c]{期权定价问题}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item
      设有这样一个以某股票为标的资产的3月期欧式买入期权，
      股票现行的市场价格为 30 元，期权确定的执行价格为 31 元。
      市场的无风险利率为 10\% (年利率)，试确定该期权的价格。
    \item
      简化问题的假设：
      设已知3个月后股票价格要么上升 10\%，要么下降 10\%.
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{模型的基本要素}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 时段 (Period): 期初为 0，期末为 1
    \item 货币 (Money): 利率为 $r$
    % \item 概率空间 (Probability space): 抛掷硬币空间 (coin space)
    \item 股票 (Stock): 初始价格 $S_0$，上升因子 $u$, 下跌因子 $d$
    \item \emph{欧式看涨期权 (European call option)}~
    \item \emph{套利 (Arbitrage)}~
    \item 思考：
        \begin{itemize}
            % \item 衍生证券的价格只与股票有关，
            %     为什么在定价模型中我们需要货币市场?
            \item 想象你是在独立研究这个定价问题，
                你要怎么做？
        \end{itemize}
    % \item 课上解答：给定时间内事件发生的次数的分布，\ldots.
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{模型的构建}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 问题描述
      \begin{itemize}
        \item $S_0 = 4, u = 2, d = \frac{1}{2}$, $r = \frac{1}{4}$
        \item 欧式看涨期权的 \emph{敲定价格 (strike price)}~为 $K = 5$
        \item 可以卖空股票，并能以利率 $r$ 借入或借出 货币
      \end{itemize}
    \item 目标：为 欧式看涨期权 定价
    % \item 有效市场的原则：给定期权的价格，不会产生套利行为
    \item 思考：
      \begin{itemize}
        % \item 衍生证券的价格只与股票有关，
        %     为什么在定价模型中我们需要货币市场?
        \item 在为期权定价的时候，
          为什么必须要 \emph{无套利}？
        \item 如果无套利，必有：
          \begin{equation}
              0 < d < 1 + r < u
          \end{equation}
      \end{itemize}
    \item 怎样求解这个模型？
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{模型求解}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item 设初始财富为 $X_0$
    \item 构建股票和货币的组合来 \emph{复制 (replicate)} 一个单位期权
    \item $X_0$ 即期权的定价
    \item 证明如果无套利，则期权的定价必须为 $X_0$
    % \item 独立探索：
    %     \begin{itemize}
    %         \item 还有没有其它方法求解？
    %     \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{示例}
    \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
        \item $S_0 = 4, u = 2, d = \frac{1}{2}$
        \item $r = \frac{1}{4}$
        \item 欧式看涨期权的 敲定价格 为 $K = 5$
        \item 思考：
            \begin{itemize}
                \item 求解 $X_0$ 以及相应的组合
                \item 怎样求解一般模型？
            \end{itemize}
    \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{示例图}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=1.00\textwidth]{../image/BT-1-UC.pdf}
    \caption{欧式看涨期权的定价}
    \label{fig:binomial-tree-1}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{一般问题的求解}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item $S_0, u, d, r$
    \item 风险中性概率
      \begin{equation}\label{eq:risk_neutral_prob}
          \tilde{p} = \frac{1+r-d}{u-d},
          \quad
          \tilde{q} = \frac{u-1-r}{u-d},
      \end{equation}
    \item 欧式看涨期权的 \emph{敲定价格 (strike price)}~为 $K$
    \item 探索：
      \begin{itemize}
        \item 求解 $X_0$ 以及相应的投资组合
        \item 把期权的价格表示成期权在各样本点上价值的线性组合
      \end{itemize}
\end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{将欧式期权推广到一般衍生证券}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item $S_0, u, d, r$
    \item 衍生证券在期末的价值为 $(V_1(H), V_1(T))$
    \item 证明：
      \begin{itemize}
        \item 如果无套利，则在期初的定价必定为 \[
          \frac{1}{1+r} \left( \tilde{p}V_1(H) + \tilde{q}V_1(T)
          \right)
        \]
        \item 购买股票的数量为 \[
          \frac{V_1(H) - V_1(T)}{S_1(H) - S_1(T)}
        \]
    \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\section{多时段二叉树模型}

\begin{iframe}[c]{两时段二叉树模型}
  \begin{itemize} [<+- | alert@+>]
    \item $S_0, u, d, r$
    \item $S_1(H), S_1(T), X_1(H), X_1(T)$
    \item 衍生证券在期末的价值为 $(V_2(HH), V_2(HT), V_2(TH), V_2(TT))$
    \item 证明：
      \begin{itemize}
        \item 如果无套利，则在期初的定价必定为 \[
          \frac{1}{1+r} \left( \tilde{p}X_1(H) + \tilde{q}X_1(T)
          \right),
        \] 其中
        \[
          X_1(\omega) =
          \frac{1}{1+r} \left( \tilde{p}V_2(\omega H) +
            \tilde{q}V_2(\omega T)
          \right), \omega \in \{H, T\}.
        \]
      \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{frame}[c]{示例图}
  \begin{figure}[htpb]
    \centering
    \includegraphics[width=1.00\textwidth]{../image/BT-2-UC.pdf}
    \caption{二时段欧式看涨期权的定价}
    \label{fig:binomial-tree-2}
  \end{figure}
\end{frame}

\begin{iframe}[c]{推广到 N 个时段}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 思考：
      \begin{itemize}
        \item 推广后，保持不变的因素有哪些？
        \item 推广后，哪些因素发生了变化？
        \item 怎样构建推广后的模型？
        \item 怎样求解推广后的模型？
      \end{itemize}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{定理 1.2.2: 多时段二叉树模型中的复制}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 考虑一个 $N$ 时段二叉树资产定价模型
    \item
      我们用概率空间
      $\left(\Omega^{(N)}, \mathbb{P}^{(N)}\right)$
      上的随机变量 $V_N$ 表示欧式衍生证券在到期时刻 $N$ 时的价值
    \item
      当 $n = N-1, \ldots, 0$,
      我们按时间倒向递归定义随机变量序列
      \begin{equation}\label{eq:derivative_value_n}
        V_n\left( \omega^{(n)}\right) =
        \frac{1}{1+r}
        \left[
          \tilde{p} V_{n+1}\left( \omega^{(n)}H\right)
          +
          \tilde{q} V_{n+1}\left( \omega^{(n)}T\right)
        \right],
      \end{equation}
      以及随机变量序列
      \begin{equation}\label{eq:stock_quantity_n}
        \varDelta_n\left( \omega^{(n)}\right)  =
        \frac{
          V_{n+1}\left( \omega^{(n)}H\right)
          -
          V_{n+1}\left( \omega^{(n)}T\right)
        }{
          S_{n+1}\left( \omega^{(n)}H\right)
          -
          S_{n+1}\left( \omega^{(n)}T\right)
        }.
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{定理 1.2.2 (续)}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item
      接下来我们让 $X_0 = V_0$,
      并且按时间前向递归定义在时刻 $n = 0, 1, \ldots, N-1$
      的投资组合价值
      \begin{equation}\label{eq:portfolio_value_period_n_thm}
        X_{n+1} = \varDelta_{n}S_{n+1} + (1 + r)(X_n - \varDelta_n S_n).
      \end{equation}
    \item
      在以上设定下，
      我们可以证明：
      \begin{equation}\label{eq:equality_portfolio_derivative}
        X_N\left( \omega^{(N)}\right)
        =
        V_N\left( \omega^{(N)}\right),
        \quad \forall \; \omega^{(N)}.
      \end{equation}
  \end{itemize}
\end{iframe}

\begin{iframe}[c]{定义 1.2.3: 在各个时刻欧式衍生证券的价格}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item
      对于 $n = 1, 2, \ldots, N$,
      我们把定理 1.2.2 中的随机变量
      $V_n\left( \omega^{(n)}\right)$
      定义为前 $n$ 次抛掷结果为 $\left( \omega^{(n)}\right)$ 时
      在时刻 $n$ 的衍生证券价格。
    \item
      在时刻 0 的衍生证券价格为 $V_0$.
  \end{itemize}
\end{iframe}

\section{模型的计算}%
\label{sec:mo_xing_de_ji_suan_}

\begin{iframe}[c]{计算的复杂度}
  \begin{itemize}[<+- | alert@+>]
    \item 如果二叉树模型含有 100 个时段，
        计算的复杂度大概是多少？
    \item 为什么我们的运算可以简化？
  \end{itemize}
\end{iframe}
\end{document}
